Algebraische Gruppen, Sommersemester 2020

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Neuigkeiten

Der Lehrbetrieb in Präsenzform ist eingestellt: weitere Informationen zum Umgang mit 2019-nCoV an der Universität Regensburg.
Informationen zum Ablauf des Sommersemesters werden am 15. April 2020 bekanntgegeben.

Falls Sie sich für diese Vorlesung interessieren (wann und auf welche Weise auch immer sie stattfinden wird), melden Sie sich bitte auf der GRIPS-Seite an.

Hier finden Sie einige Informationen zu Weil-Einschränkung. Falls es noch Fragen dazu gibt, sprechen Sie dies einfach an.

Inhalt

Die Theorie der algerbraischen Gruppen spielt eine fundamentale Rolle in vielen Teilgebieten der Mathematik, zum Beispiel in der algebraischen Zahlentheorie (Modulformen, automorphe Formen). In der algebraischen Geometrie sind sie nützlich im Studium von Aktionen und für das Formen von Quotientenräumen, sie werden zum Beispiel zur Konstruktion verschiedener Modulräume verwendet.

Ziel dieses Kurses ist es, eine Einführung in die Theorie der algebraischen Gruppen zu geben. Dazu verwenden wir den modernen Zugang durch den sogenannten "Functor of points." Einzige Voraussetzung für den Besuch der Vorlesung ist somit kommutative Algebra.

Ein wichtiges Resultat, das besprochen wird, ist der Satz von Chevalley, der besagt dass eine algebraische Gruppe als Erweiterung von einer abelschen Varietät durch eine affine algebraische Gruppe beschrieben werden kann. Ein weiteres Ziel ist die Klassifikation von reduktiven algebraischen Gruppen mit Hilfe von Wurzelsystemen und Dynkin-Diagrammen.

Format

In diesem Kurse werden wir eine Variante der Moore Methode verwenden.
Die Teilnehmer erhalten auf GRIPS eine latex-Vorlage unseres Skripts. Hierbei sind Beweise und Beispiele größtenteils ausgepart. Die Teilnehmer sollen sich den Stoff selbstständig erarbeiten und mit Hilfe von Hinweisen die Lücken im Skript füllen.
Jede Woche wird ein Teil des Skripts zur Bearbeitung aufgegeben. In der Vorlesungs- und Übungszeit diskutieren wir über Probleme und Fragen, die dabei auftauchen, und versuchen gemeinsam Lösungen zu finden.
Das bearbeitete Skript wird alle zwei bis drei Wochen per Email abgegeben und kontrolliert bzw. korrigiert. Jede zu ergänzende Stelle kann mit 0, 1 oder 2 Punkten bewertet werden.
Im Idealfall hat jeder Teilnehmer am ende des Semesters ein vollständiges selbst geschriebenes Skript.

Organisatorisches auf einen Blick

Zeitplan

Woche 1	21.04.2020      Besprechung des Formats	23.04.2020 Einführung in das Thema
Woche 2	28.04.2020 Affine Schemata	30.04.2020 Allgemeine Schemata
Woche 3	04.05.2020 Projektiver Raum	07.05.2020 Basiswechsel, Weil-Einschränkung
Woche 4	11.05.2020 Weil-Einschränkung, flache Morphismen	14.05.2020 Treu-flacher Abstieg
Woche 5	18.05.2020 Grothendieck's generischer Freiheitssatz	--
Woche 6	25.05.2020 Chevalley's Konstruktibilitätsstz	28.05.2020 Derivationen
Woche 7	--	04.06.2020 Totaler Tangentialraum
Woche 8	08.06.2020 Euler-Folge	--
Woche 9	15.06.2020 Eigenschaften von Morphismen	18.06.2020 Eigenschaften von Morphismen
Woche 10	22.06.2020 Definition von Gruppenschemata	25.06.2020 Lie-Algebra eines Gruppenschemes
Woche 11	29.06.2020 Lie-Algebra eines Gruppenschemes	02.07.2020 Die Einheitskomponente
Woche 12	06.07.2020 Die Menge der Zusammenhangskomponenten	09.07.2020 Das Translationsargument
Woche 13	13.07.2020 Operationen von Gruppen	16.07.2020
Woche 14	20.07.2020 Orbits, Fixschema	23.07.2020 Affine Gruppenschemata, Darstellungen
Woche 15	-	-
Woche 16	03.08.2020 Chevalleys Struktursatz	06.08.2020 Chevalleys Struktursatz